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2.9 Zentraler unelastischer Stoß

Im Folgenden gehen wir, wie bei dem zentralen elastischen Stoß, davon aus, dass die Körper einen zentralen eindimensionalen Stoß ausführen.

Bei diesem Stoß haben sich die beiden Körper nach dem Stoß verbunden und bewegen sich anschließend mit einer gemeinsamen Geschwindigkeit fort. Dabei wird ein Teil der Energie in innere Energie umgewandelt und somit gilt der Energieerhaltungssatz für die mechanische Energie nicht.

Beispiel:
Wenn ein Nagel mit einem Hammer in Holz eingeschlagen wird, dann bewegen sich Hammer und Nagel nach ihrem Zusammenstoß mit einer gemeinsamen Geschwindigkeit fort.

Es gilt somit der Impulserhaltungssatz: $$ p_1 + p_2 = {p^ \prime }_{12} $$ $$ m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = ( m_1 + m_2 ) \cdot {v^ \prime }_{12} $$

Und für die Energie folgendes: $$ E_1 + E_2 = {E^ \prime }_1 + {E^ \prime }_2 + \Delta E_{innere} $$ $$ \frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot {v^ 2 }_1 + \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot {v^ 2 }_2 = \frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot {v^{ \prime \space 2 }}_1 + \frac{1}{2} \cdot m_2 \cdot {v^{ \prime \space 2 }}_2 + \Delta E_{innere} $$

Folgend wird die innere Energie jedoch außer Acht gelassen. Für \( {v^ \prime }_{12} \) ergibt sich nun: $$ {v^ \prime }_{12} = \frac{ m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 }{ m_1 + m_2 } $$

Hier entstehen einige Sonderfälle von denen im Folgenden drei betrachtet werden:

Sonderfall Nr.1:
Die Körper 1 und 2 besitzen die gleiche Masse und die gleiche Geschwindigkeit. Daher gilt \( m_1 = m_2 \) und \( v_1 = -v_2 \). Aus der oben benannten Gleichung ergibt sich nun folgendes für die Geschwindigkeit nach dem Stoß: $$ {v^ \prime }_{12} = 0 $$ Die Körper ruhen nach dem Stoß.

Sonderfall Nr.2:
Die Körper 1 und 2 besitzen die gleiche Masse und der Körper 2 ruht. Daher gilt \( m_1 = m_2 \) und \( v_2 = 0 \). Für die Geschwindigkeit nach dem Stoß gilt: $$ {v^ \prime }_{12} = \frac{1}{2} \cdot v_1 $$ Die beiden Körper bewegen sich nach dem Stoß mit der halben Geschwindigkeit des ersten Körpers weiter.

Sonderfall Nr.3:
Der Körper 2 ruht und besitzt eine sehr viel größere Masse als der Körper 1. Daher gilt \( m_1 \ll m_2 \) und \( v_2 = 0 \). Für die Geschwindigkeit nach dem Stoß gilt: $$ {v^ \prime }_{12} = 0 $$ Die Körper ruhen nach dem Stoß.

Hinweis:
Dieser Stoß ist eine Idealisierung und tritt so in der Realität nur näherungsweise auf.

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Aufgaben:

1.)
Ein LKW und ein Auto verkeilen sich bei einem Unfall und führen daher einen zentralen unelastischen Stoß aus. Die Masse des LKW ist \( 1500 kg \) und seine Geschwindigkeit ist \( 70 \frac{ km }{ h } \). Die Masse des Autos ist \( 1000 kg \) und die Geschwindigkeit \( -100 \frac{ km }{ h } \). Mit welcher Geschwindigkeit (in \( \frac{ km }{ h } \)) bewegen sie sich nach dem Stoß fort?

Tipp Nr.1:
Hier gilt der Impulserhaltungssatz.

Tipp Nr.2:
Die bakannte Gleichung muss umgestellt werden.

Lösung:
Nach dem Stoß haben sich die Körper zu einen vereint. Aus dem Impulserhaltungssatz lässt sich nun die gemeinsame Geschwindigkeit nach dem Stoß errechnen. $$ m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = ( m_1 + m_2 ) \cdot {v^ \prime }_{12} $$ $$ {v^ \prime }_{12} = \frac{ m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 }{ ( m_1 + m_2 ) } $$ $$ {v^ \prime }_{12} = \frac{ 1500 kg \cdot 70 \frac{ km }{ h } + 1000 kg \cdot -100 \frac{ km }{ h } }{ 1500 kg + 1000 kg } = 2 \frac{ km }{ h } $$

Lösung:
\( \frac{ km }{ h } \)

2.)
Ein Schüler der Masse \( 60 kg \) springt mit der Geschwindigkeit \( v = 9 \frac{ m }{ s } \) auf einen Wagen der Masse \( 200 kg \). Beide zusammen rollen anschließend mit der Geschwindigkeit \( {v^ \prime }_{12} \) weiter. Berechne diese Geschwindigkeit.

Tipp Nr.1:
Nutze den Impulserhaltungssatz.

Tipp Nr.2:
Der Wagen ruht.

Lösung:
Der Wagen ruht. Demnach ist sein Impuls 0. $$ m_W \cdot 0 + m_S \cdot v_S = ( m_W + m_S ) \cdot {v^ \prime }_{WS} $$ $$ m_S \cdot v_S = ( m_W + m_S ) \cdot {v^ \prime }_{WS} $$ $$ {v^ \prime }_{WS} = \frac{ m_S \cdot v_S }{ m_W + m_S } $$ $$ {v^ \prime }_{WS} = \frac{ 60 kg \cdot 9 \frac{ m }{ s } }{ 200 kg + 60 kg } \approx 2 \frac{ m }{ s } $$

Lösung:
\( \frac{ m }{ s } \)

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